samenvatting van de filosofie van de wiskunde	wiskunde als achtergrond voor de kunst

wiskunde en kunst Kunst en wiskunde vertonen een veelheid van overeenkomsten. Beide hanteren structuren of ordeningen. Beide vertonen een tendens om ordeningen afkomstig uit de waarneming van de natuur verder door te drijven dan het grote voorbeeld, de natuur zelf. In het presenteren van meer complexe ordeningen dan de natuur wordt het fantasie, verbeelding. In die extrapolatie van ordeningsmogelijkheden buiten het niet bestaande worden er structuren gemaakt die binnen de mogelijkheden van de bestaande ordeningen lagen, maar nog niet bekend waren. Natuurkunde en sterrenkunde richten zich op het bestaande en trachten met de taal die daarvoor geschikt is, de taal van de orde en regelmaat, die de wiskunde is een zo goed mogelijke beschrijving te geven van de waarnemingen. Hiervoor wordt eigenlijk alleen de basis van de wiskunde gebruikt. Wiskundigen zelf gaan hieraan ver voorbij, resulterend in het ongelofelijke aantal nieuwe publikaties per jaar. (Volgens Ferdinand Verhulst komen er per jaar 60.000 nieuwe publikaties uit, wat uiteraard geen enkel persoon kan bijhouden en ook daarin lijkt het op de vele gebeurtenissen in de kunst die over de gehele wereld plaatsvinden.) Hier wat Ferdinand Verhulst zelf een kenner van chaotische systemen over wiskunde zei in zijn inleiding: Bekijk en beluister een stukje video van deze inleiding. (alleen indien u Quicktime heeft geïnstalleerd)

Ferdinand Verhulst Ferdinand Verhulst: "Mijn enig bezwaar op de prachtige stereografische inleiding is dat ik op de foto's van mezelf nogal ernstig kijk. Wiskunde is namelijk een ontzettend leuk vak. De mensen lachen ook ontzettend veel, en dat was eigenlijk het enige wat niet tot uiting kwam, maar verder erg veel wel. Ik wil eigenlijk een aantal dingen zeggen. Om te beginnen nu in de inleiding iets over mijn werk en mezelf in de wiskunde. En daarna wil ik ook iets zeggen over - ja dat komt misschien later - over de plaatjes die een wiskundige in zijn hoofd heeft en ook misschien de plaatjes die een kunstenaar in zijn hoofd kan hebben als hij over wiskunde denkt. Maar laten we eerst praten over mijn werk in de wiskunde. Laat ik beginnen te zeggen dat de wiskunde niet bestaat, dat wil zeggen dat DE wiskunde, net zoals DE kunst niet bestaat en ook niet de wiskundige en ook niet de kunstenaar. De wiskunde heeft ontzettend veel kanten, wiskunde is net als kunst duizenden jaren oud. En ontwikkelt zich harder dan ooit. Elk jaar verschijnen vijftig a zestigduizend artikelen nieuwe wiskunde. Dat is een gigantische bibliotheek elk jaar. Dat zijn allemaal nieuwe dingen en meer dan de helft van de wiskunde is ongetwijfeld deze eeuw ontdekt. De verbeeldingskracht van de wiskundigen is dus kennelijk heel erg groot gezamenlijk, er gebeurt ontzettend veel. En de vraag is waar komt dat uit voort? Wat is de bron daarvan? Dat zijn allemaal grote vragen. Als je zo'n vraag kunt beantwoorden dan heb je eigenlijk wel heel erg veel gedaan. Ik wil de vraag iets toespitsen: Hoe neemt de wiskundige waar en hoe is eigenlijk de structuur van wiskundige gedachten, hoe zit dat in elkaar? Het antwoorden moet op een manier waarop wij hopelijk met elkaar erover kunnen praten, dus zonder gespecialiseerd te werk te gaan. Er zijn om te beginnen al twee opvatting over wat wiskunde is. Er zijn namelijk mensen die zeggen: wiskunde was er altijd al. En wat wij als wiskundigen doen is, wij ontdekken de wiskunde. Wij zijn bezig met een ontdekkingsreis, waarbij we gewoon bepaalde structuren, bepaalde stellingen, bepaalde inzichten, bepaalde beelden ontwerpen. Het lijkt of we die maken, maar ze waren er al. En dat is eigenlijk het platonische idee van de wiskunde. Ik heb wel eens het gevoel dat als ik met colleges in binnen- en buitenland praat, de meerderheid van de wiskundigen dat idee heeft. Dat de wiskunde een geheel van denkstructuur is die ontdekt moet worden. Ik geloof niet dat er ooit een enquête over is geweest. De andere vraag is dus, of wij uitvinders zijn, of er wiskundige uitvinders zijn. Die vraag kun je dus overigens ook over de kunst stellen. Zijn wij uitvinders en maken wij ook echt iets nieuws? Ik zelf voel niet zo voor de platonische oplossing. Ik hoor eigenlijk bij de minderheid en zoals u weet heeft de minderheid meestal gelijk. Ik denk dat er misschien nog een derde oplossing zou moeten zijn. Ik heb het idee dat er op de een of andere manier, een manier die we niet kennen, een interactie bestaat tussen de menselijke geest en de ervaringen die er zijn in de wereld. De indrukken die er zijn, zijn zintuiglijke indrukken en de ervaringen die de mens heeft, geven een interactie met de menselijke geest. Dat spreekt eigenlijk vanzelf maar het heeft nogal wat gevolgen. Ik spreek namelijk van interactie, de menselijke geest is dus niet een voorgevormd gegeven, maar iets dat wordt gevormd door de ervaringen. Door de indrukken ontstaan er plaatjes in je hoofd. En dat geldt zeker voor mij: als ik wiskundig bezig ben, ontstaan er beelden. En die beelden, daar zal ik er straks een paar van laten zien. Die beelden zeggen op de een of andere manier iets over het probleem waar je mee bezig bent. Mijn vakgebied in de wiskunde is dynamische systemen en chaos. Wat is dat? Het zal u misschien verbazen, maar net als in de kunst zijn er in de wiskunde ontzettend veel stijlen. Door de hele geschiedenis heen geldt, dat er enorme stijlverschillen zijn geweest. Bijvoorbeeld dat men in de 18e eeuw het rekenen ontdekte, daarvoor was de meetkunde heel belangrijk; in deze eeuw heeft men de meetkunde opnieuw ontdekt en deze is weer heel erg belangrijk geworden. En nu doet men allerlei dingen bij elkaar. Je hebt dus allerlei verschillende stijlen zoals je ook in de kunst allerlei stijlen hebt. Maar de stijl waar ik dan eigenlijk bij hoor, dat is dan toch een combinatie van analyseren, misschien moeten we dat wel rekenen noemen, met plaatjes, met beelden ontwerpen. Even ter illustratie een heel huiselijk probleem, een stuiterende bal. Ik heb expres een van de simpelste problemen genomen. Als de bal stuitert dan gaat die bal, als je hem laat vallen, omlaag en dan gaat hij omhoog, erg saai. Als er geen wrijving zou zijn dan zou dat ten eeuwigen dage zo doorgaan, als er wel wrijving is, dan gaat hij natuurlijk steeds lager. Om het een beetje spannender te maken laat je dat stuiteren plaatsvinden op een tafel. En die tafel staat periodiek te trillen met een bepaalde frequentie. Dan krijgt, elke keer als die bal omlaag komt hij even een klap. En je zou zeggen, dat is dan aardig en dan zal hij dus wel een heel klein beetje anders stuiteren. Maar het aardige is, dat nu dit stuiterende bal systeem, en dat kun je volkomen wiskundig analyseren en bewijzen, dat dat heel veel chaotische oplossingen heeft. Wat betekent dat nu voor wat je ziet? Dat je niet kan voorspellen hoe hoog die bal komt. Dus de ene keer komt hij laag, de andere keer gaat hij wat hoger en daar zit helemaal geen volgorde of regelmaat in. Als je bijvoorbeeld zou zeggen, die tafel trilt zo en zo hard en de bal begint van 2 meter hoogte te vallen, dan stuitert hij een keer, maar je hebt geen idee welke hoogte hij de volgende keer bereikt. Dit is een simpel voorbeeld van een chaotisch systeem. Met VWO wiskunde en mechanica kun je dit helemaal analyseren, dat is het aardige ervan. Wat is nu het plaatje wat erbij hoort. Als ik hier aan denk is dat dit plaatje Wat betekent dat? Het zijn eigenlijk tijdopnames van de hoogte van de bal zou je kunnen zeggen. Eigenlijk is het overigens de snelheid van de bal waarmee de tafel geraakt wordt, maar dat levert nu eenmaal de hoogte van die bal. In de loop van de tijd, steeds opnieuw als hij op het hoogste punt is, zet je opnieuw een punt neer. Dus er ontstaan achter elkaar in de tijd punten. Als hij nu over zo'n kromme loopt, een gesloten kromme zoals u daar links een stuk of drie groepen ziet, dan gedraagt hij zich heel regelmatig en is het gedrag heel erg voorspelbaar. Maar als hij in zo'n puntenwolk zit, dan springt hij op alle mogelijk willekeurige manieren heen en weer. Dus als je hem zo laat beginnen springt hij een en weer. Als de tafel iets sneller gaat trillen wordt dat verschijnsel heviger en dan zie je op het tweede plaatje, dat de regelmatige gebieden veel kleiner zijn geworden. Die puntenwolk wordt erg veel groter en deze levert volkomen chaotisch gedrag op. Het soort mechanisme, het soort verschijnsel wat hier in zit, is overigens ook dezelfde onregelmatigheid die ten dele het gedrag van het weer bepaalt. Bij het weer speelt chaos een heel essentiële rol. Dit is dan het soort plaatje dat ik in mijn hoofd heb. Nou is het nog een beetje ingewikkelder. Je zit steeds opnieuw te kijken naar een volgend tijdstip. Dus eigenlijk zijn die dingen met elkaar verbonden. Je moet je voorstellen dat je hier een soort projectie ziet, en eigenlijk moet je lijntjes trekken in de tijd die punten zo met elkaar verbinden. Nou, dat soort dingen heb ik in gedachten. Ik zal u wat andere plaatjes laten zien, die niet uit dit probleem afkomstig zijn, maar er toch eigenlijk wel aan doen denken. Als u kijkt naar dit plaatje, ziet u regelmatige gebiedjes en u ziet puntenwolken. Ook nu is er dynamica in verloop van de tijd, steeds een tijdstip verder wordt een zo'n punt neergezet. Als je op zo'n kromme zit, zo'n gesloten kromme, zoals u daar ziet, dan blijf je daar op zitten en dan is het gedrag eigenlijk heel erg regelmatig. Als je er niet op zit dan loopt alles eigenlijk onvoorspelbaar en chaotisch rond. Even een zijstapje. Ik heb wel eens een keer, een jaar geleden, een voordracht gehouden in een heel ander verband, over de vrije wil. Je zou zeggen, hoe kom je daar op. Ik heb toen voorgesteld een wasmachine te maken. Een wasmachine die een vrije wil heeft, er zit een microprocessor in die het proces van dit plaatje genereert. Je zou kunnen afspreken dat de processor elke dag een punt zet volgens deze dynamica. Als je dan bijvoorbeeld aan de rechterkant van het vlak zit, spreken we af dat hij die dag wast en als hij aan de linker kant zit, wast de machine niet. Jet kunt niet voorspellen waar de processor met zijn plaatje elke dag is, waar hij eigenlijk komt, behalve als hij op een regelmatig stuk zit. Als hij bijvoorbeeld altijd in een rechter regelmatig stukje zit, wast hij altijd en heb je schijnbaar een gewone wasmachine zoals we allemaal hebben. Daar is niks aan (behalve dat hij wel elke dag beslist dat hij wast!). Maar als je nu in het chaotisch gebied zit, in zo'n puntenwolk, dan kun je niet voorspellen wanneer hij zal wassen of niet. Mijn vraag is dan deze: hoe kun je nu vaststellen dat die wasmachine wel of niet een vrije wil heeft? Je kunt het proces absoluut niet reproduceren, als je zo'n machine maakt kun je nooit meer een machine maken die precies hetzelfde doet. Dat levert altijd weer ander resultaten op. Eigenlijk is vrije wil zoiets als, dat niemand van buitenaf kan zeggen wat je gaat doen. Deze wasmachine heeft eigenlijk een vrije wil zonder dat er bewustzijn is. Een beetje vreemd, dit zijstapje. Er zijn nog veel meer van dit soort plaatjes te maken. Een ander voorbeeld is deze. Hij heeft centraal een regelmatig gebied en een enorme puntenwolk eromheen, wat allemaal chaotische verbindingen zijn. Waarom laat ik eigenlijk deze plaatjes zien. Omdat het allemaal familie is van hetzelfde. Die stuiterende bal en dit soort plaatjes. Dat is eigenlijk een geheel, een soort theorie en een soort plaatje dat we in ons hoofd hebben. Ik ga zo een plaatje laten zien hoe dat in de ruimte er uit ziet. Die gesloten kromme, dat zijn eigenlijk de doorsneden van dingen die helemaal rond lopen en weer terugkeren. En die puntenwolken zijn dan dingen die wild door de ruimte springen. En dan nog een zo'n plaatje. Dat is een plaatje wat er ook wel weer een beetje op lijkt. Dit komt echter uit een promotieonderzoek van een van mijn promovendi en dat gaat over trillingen die zich afspelen ongeveer 4 km in de aardkorst, trillingen van een geofysische boor die men rond laat draaien. Als je daar de wiskundige vergelijkingen voor opschrijft, dan kun je al heel snel aantonen dat dat ook weer aanleiding geeft tot dezelfde soort combinatie van regelmatigheid en chaos en dat levert ook weer hetzelfde soort plaatje. Laat ik het plaatje laten zien dat die ruimtelijke structuur weergeeft. Een voorbeeld daarvan is deze. Hierbij is de onderste doorsnede het plaatje wat u steeds zag. Omdat de tijd ondertussen loopt, reis je door de ruimte. Als je in een regelmatig gebied zit, dan loop je via een torus zoals dat heet, een soort fietsband, van boven af naar beneden. Maar zou je precies in zo'n puntenwolk beginnen, dan spring je door de ruimte heen en kom je misschien heel ergens anders in een andere puntenwolk terecht. Ik heb me heel bewust beperkt tot een type plaatjes. Overigens heel interessant dat daar de meest uiteenlopende verschijnselen mee corresponderen. De eerste keer dat ik dit tegenkwam, was ik bezig met een onderzoek van bewegingen van sterren in het Melkwegvlak. Dan krijg je ook dit soort plaatjes. Dit type plaatje geeft dus een onderliggende structuur die er inzit, al gaat het over boren, stuiterende ballen, sterbeweging of wat dan ook, die structuur komt steeds terug. Nu zou ik nog iets willen zeggen over chaos, maar meer in de zin van complexiteit. Chaos beweging is buitengewoon complex. De vraag die zich eigenlijk hier voordoet is of bijvoorbeeld de computer creativiteit kan vertonen, een creatief systeem kan zijn. Als je toch met de computer zulke complexe systemen kan maken, met zo een mate van onvoorspelbaarheid, dan ben je al een heel eind. Het is echt een grote stap geweest in de geschiedenis die nu al een jaar of twintig aan de gang is. Wat zou je daarover kunnen zeggen? In de wiskunde zijn er stellingen met keiharde bewijzen, dat er objecten zijn, structuren zijn, die niet algoritmisch te beschrijven zijn. Wat bedoel ik daarmee. Algoritmische beschrijving dat is typisch een beschrijving door de computer. Dat is een beschrijving waarbij je stap voor stap aangeeft wat er gebeurt en als maar verder. Een structuur die algoritmisch te beschrijven is, is een soort berekenbare structuur in de werkelijkheid. Wiskundig kun je bewijzen dat er structuren zijn, die niet in die zin algoritmisch zijn, die niet berekenbaar zijn. En dat betekent dat de computers zoals die nu zijn, als je dat dan tenminste definieert zoals ik dat doe, absoluut nooit creatief kunnen zijn. Het moment dat je in staat zou zijn een computer te maken die niet-algoritmisch werkt, die niet-algoritmische processen weergeeft, op dat moment zou je eigenlijk een creatief wezen hebben geschapen. Ik sluit overigens niet uit dat dat een keer gebeurt. Zo'n bewust wezen, die niet algoritmisch denkt, zal dan ook creatief zijn, maar dat is dan iets heel nieuws. Dat is dus eigenlijk iets nieuws over machines kun je zeggen. Machines worden wel eens onderschat. En tegen de tijd dat dit lukt zullen we moeten gaan spreken over de rechten van de machine. Op dit moment is dat niet aan de orde. Ik kan nog een heleboel meer dingen zeggen. Ik wil eigenlijk alleen nog maar opmerken dat er toevallig twee weken geleden een populair boek over chaostheorie is verschenen, "Het einde van de voorspelbaarheid?", een boek dat ik samen met een collega uit Groningen en een collega uit Amsterdam heb geschreven. Naar mijn mening is dat eigenlijk wel een aardig boek."

Later op de avond volgt nog een interessante opmerking van Ferdinand Verhulst over de wiskunde, waarin duidelijk wordt dat de wiskunde ook door de beoefenaars beschouwd wordt als iets dat niet te vergelijken is met natuurkunde of sterrenkunde:

Ferdinand Verhulst: "De wiskunde is een geesteswetenschap. Wiskunde is helemaal geen experimentele wetenschap. Wiskunde houdt zich uitsluitend bezig met gedachten, structuren, het zijn gedachtenspinsels, bedenkseltjes allemaal. De wiskundige wereld loopt er niet zo erg mee te koop, maar dat is wel de echte opvatting. Het is geen experimentele wetenschap namelijk. Het is natuurlijk wel HET voorbeeld van exacte wetenschap. Maar het valt niet onder natuurwetenschappen."

Carel Blotkamp: "In de stukken die we toegestuurd kregen zat onder andere een stuk van Gerrit Krol gewijd aan Brouwer, de beroemde wiskundige die wiskunde geen wetenschap vond."

Ferdinand Verhulst: "Brouwer is een genie geweest en de grote ondermijner van de wetenschap, hij heeft de grondslagen van de wiskunde volledig ondermijnd en dat probleem is nog steeds niet opgelost. En hij is ook als een van belangrijkste redacteuren van een van de meest belangrijke tijdschriften, de Mathematische Annalen, ontslagen in de jaren twintig om die reden. Een heel beroemde man, dat was een echte revolutionair. Hij was van alles. Brouwer zou gezegd hebben dat als de wiskunde een wetenschap was, dat het dan een geesteswetenschap was, dat in elk geval. Maar los hiervan heb ik eigenlijk behoefte aan een positie bepaling. Moet een wetenschapper iets van kunst weten, moet een kunstenaar iets van wetenschap weten? Er moet natuurlijk niets, maar een kunstenaar kan natuurlijk niet van de wetenschap veel weten, want dat is een gigantisch gebied zoals Carel opmerkte - hij haalde mijn woorden aan - in mijn gebied ken ik maar een heel smal segmentje, het is niet bij te houden. Aan de andere kant denk ik wel dat enig begrip, bijvoorbeeld wat er in De Stijl speelde, dat wanbegrip wat er was, dat dat ontzettend goed is geweest. Het denken over de 4e dimensie en wat zij hiermee hebben gedaan, dat is voor mij veel interessanter dan wat Escher heeft gedaan. Zij hebben het namelijk op de een of andere manier verwerkt. Zij hebben daar iets over gelezen, over gepraat met elkaar. Die kennis over de 4e dimensie - er zijn nog veel meer dimensies - dat heeft op een of andere manier iets met hun geest gedaan. Daar is iets uitgekomen waar de wetenschapper van zou zeggen, nou ja, jullie hebben de les eigenlijk niet goed gevolgd. Maar dat is dan volkomen onjuist, want dat is helemaal niet relevant in dit geval. Wat zich hier afspeelt is hetzelfde als alles waarbij creativiteit een rol speelt, namelijk je doet allerlei ervaringen op en met die ervaringen ga je aan de gang. Dat hebben die kunstenaars van de Stijl ook gedaan en dat is prima. Ik denk dat dit juist een voorbeeld is van het kennis nemen van een stukje wetenschap, dat heel erg inspirerend is. Een derde punt dat ik wil opmerken is, we moeten goed onderscheid maken tussen enerzijds wetenschap met al die structuren die daar inzitten, met al die spannende ontwikkelingen en anderzijds technieken. De computer is natuurlijk net zoiets als een rekenliniaal, al is het nog zo opmerkelijk wat daarmee kan gebeuren. Toch is het een instrument. En als iemand daarmee speelt dan ben je daar soms niet van onder de indruk, soms wel; dat is altijd als iemand een instrument gebruikt. Je moet niet denken dat het gebruiken van het instrument een doel op zich is. Dat is eigenlijk het onderscheid tussen techniek en wetenschap."

Voor eenieder die iets dieper wil doordringen op het gebied van de wiskunde, de filosofie/fundering van de wiskunde kan het boek Computability, Computable functions, Logic, and the Foundation of Mathematics van Richard L. Epstein en Walter A. Carnielli aangeraden worden. (Ook handig om Wittgenstein's Tractatus beter te begrijpen.)

	samenvatting van de filosofie van de wiskunde	wiskunde als achtergrond voor de kunst